斯坦福《逻辑学导论》第七周学习笔记

斯坦福大学的《逻辑学导论》课程几乎是每个希望干出一番事业的有理性人类梦寐以求的课程,它不是教授自亚里士多德以来的逻辑学史内容,也不是简单的教授符号使用和逻辑思维方法,而是传授思想。这门课通过研究逻辑学方法,学习组织信息和系统的推理工具,生成合逻辑的结论,以启迪我们将其应用在数学、科学、工程、商业、法律等领域。1

仲夏梦之夜

也许这是最艰难的一周,也许这是最荒唐的一周,也许这是最神经病的一周。

第七周寄语

The course of coursera never did run smooth.

要你祖宗的命三千

要你祖宗的命三千

不过呢,不过还好,如果你有了第四章(即第四周)披荆斩棘的基础,你还是可以笑在Deadline前面的。笑在Deadline前面,那是一种荣耀,那是斯坦福对你智商的肯定。

四个公式

  1. 加全称量词公式(加壳):UI(Universal Introduction),可以使p(X)变成AX:p(X),或者p(X,Y)变成AXAY:p(X,Y);
  2. 去全称量词公式(脱壳):UE(Universal Elimination),可以使AX:p(X)变成p(X),或者AXAY:p(X,Y)变成p(X,Y);
  3. 加特称量词公式(加壳):EI(Existential Introduction),可以使p(X)变成EX:p(X),或者p(X,Y)变成EXEY:p(X,Y);
  4. 特称消去公式:EE(Existential Elimination),这个比较复杂一点,可以在有全称推理公式的情况下,消去特称的情况:

比如,有如下两个公式:

  • AX:(~p(X) => ~AX:p(X))
  • EX:~p(X)

可以使用EE得到~AX:p(X)。这与IE(Implication Elimination)的原理是一样的,即p=>q,此时p的真值属性存在1,0两种情况,那么同时存在q为真,也就说明了p的真值属性只可能是1一种。如果对此公式不理解,可画真值表加深理解。一定要加深记忆

注释

A的意思是∀,是全称量词符号;
E的意思是∃,是特称量词符号。

~∀X:p(X), ∀X:~p(X)的区别

我们用系统自带的UE就可以知道区别:

不能UE

∀X:~p(X)的意思是:任何X都能使p(X)成立;~∀X:p(X)的意思是:不存在任何X能使p(X)成立。

Implication Introduction的用法

在学习第四周目的时候,我还没有好好的理解II的用法,结课的时候我会把新知都补充完整。这次明白了一些教材没有的内容,也许仅就斯坦福的这套系统而言(未必正确,课程中暂时未找到反例),II一定是作用在第一项和最后一项(假设层面)上的,如图:

II的用法1

II的用法2

答案一对一

遵守honor code原则,做一下思路的理清。

Problem 8.1

这题就是替换一下X与Y的位置,先UE脱壳得到p(X,Y),再UI加壳,注意顺序。

Problem 8.2

这题还是脱壳和加壳的过程,先UE脱壳得到p(Z,X),UI加壳得到AZ:p(Z,X),再UE脱壳掉Z,按要求完成加壳即可。

Problem 8.3

这题需要对已学过的公式有一种敏感(包括第四章的公司),要证明~AX:p(X),我们得想到它来自于EE,原型公式即AX:(某某某 => ~AX:p(X)),它可以与“EX:某某某”通过EE得到最终证明。

  1. 我们看到题给前提是EX:~p(X),也就是说“某某某”是~p(X);
  2. 于是,我们采用想得到什么就假设什么,或假设相反的什么的原则,假设~p(X);
  3. 我们发现,最后的结果~AX:p(X),~在外面,那么这个结果很可能由NI得到;
  4. 我们想办法满足NI的条件,即得到AX:p(X) => p(X)与AX:p(X) => ~p(X),两者NI可得到~AX:p(X);
  5. 构造出原型公式:AX:(~p(X) => ~AX:p(X));
  6. 前提EX:~p(X)与原型公式EE后得证。

小问题

上周的教材中指出:每个例子中量词都不应用在第二个关系句上,尽管那个句子包含了一个量化的变量。

Problem8.3

这意味着:AX:(~p(X) => ~AX:p(X))并不能等同于AX:~p(X) => AX:~AX:p(X)),而只能等同于AX:~p(X) => ~AX:p(X)。

Problem 8.4

还是同8.3一样分析:

  1. 要证明~EX:~p(X)我们得想到它来自于EX:~p(X)的NI。于是我们假设EX:~p(X)(我们采用想得到什么就假设什么,或假设相反的什么的原则);
  2. 我们得想到 EX:~p(X) => 某某某 与 EX:~p(X) => ~某某某 可以通过NI得到 ~EX:~p(X);
  3. 我们发现题给前提是 AX:p(X),所以“某某某”可能是 AX:p(X);
  4. 要想得到~AX:p(X),我们得通过NI,也就是构造出 AX:p(X) => 某某某 与 AX:p(X) => ~某某某;
  5. 我们发现UE第一项(AX:p(X))可以得到p(X),所以“某某某”可能是p(X),于是假设~p(X);
  6. 完成上述构造,得证。

Problem 8.5

分析方法如下:

  1. 要证明AX:EY:p(X,Y),我们可以猜测它来自于EY:p(X,Y)的UI加壳;
  2. EY:p(X,Y)可能来自于 AX:(某某某 => EY:p(X,Y)) 与 EX:某某某 使用EE得到。
  3. 题给前提是EY:AX:p(X,Y),那么“某某某”很可能是p(X,Y),我们需要构造出AY:(AX:p(X,Y) => EY:p(X,Y)),然后使用EE。
  4. 要想得到AY:(AX:p(X,Y) => EY:p(X,Y)),那么必须假设AX:p(X,Y);
  5. 使用II得到想要的,加壳后EE,再加壳后得证。

Problem 8.6

一层一层的脱掉壳,用IE得到单项,再II连接,最后加壳得证。顺序参考“Implication Introduction的用法”。

Problem 8.7

解壳加壳即可。

Problem 8.8

分析方法:

  1. 要证明AX:p(X) => AX:q(X),我们可以猜测它来自于II,因为它连接了两个关系句;
  2. 我们假设AX:p(X);
  3. 通过解壳加壳得到AX:q(X);
  4. II后加壳得证。

  1. MOOC果壳中文站:http://mooc.guokr.com/course/359/Introduction-to-Logic/  

2015-11-08 12:10 intrologic
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