斯坦福《逻辑学导论》第四周学习笔记

斯坦福大学的《逻辑学导论》课程几乎是每个希望干出一番事业的有理性人类梦寐以求的课程,它不是教授自亚里士多德以来的逻辑学史内容,也不是简单的教授符号使用和逻辑思维方法,而是传授思想。这门课通过研究逻辑学方法,学习组织信息和系统的推理工具,生成合逻辑的结论,以启迪我们将其应用在数学、科学、工程、商业、法律等领域。1

这一周目的课程非常恐怖,它恐怖到,我认为自己撑不到下一周的Deadline了。斯坦福的Notes恨不得什么也不写,我抱着看了好几遍也不能懂类似这样的问题:为什么II(Implication Introduction,蕴含引入)会有非法,为什么其他公式不会非法(Wrong)。官方论坛上、果壳论坛上都一片灰暗,不知道别人怎样,至少我在解决本周前2个问题的时候,都是靠猜的,完全不知道为什么这样做会推出那样,为什么要这么做——做题就是穷举法。可以想见,我消耗了多少时间。但,从问题4.3开始,我整个人都不好了,以至于有人猜测——老师设置这些题目就是为了让有些人做不出来的,这样才能区分高低贵贱。然后,大家都这么感慨:

害怕

不过,我可以确信的告诉你,不要担心,牛课就是牛课,它对的起你桌上的好几本参考书,对得起你打了十几页的草稿。

牛课

如果你完成了本周课程的练习(无论你是怎么混过来了,即使是抄的),逻辑推理应该也算入门了:对这些符号、公式以及运算方法的掌握还是其次(虽然已经很难),重要的是,你掌握了一套学习方法。

为什么说抄的也无所谓呢?比如下面这样,我把右边信息抹去,你不可能完成问题的解答。

答案

你起码得会抄,因为,在大家都遵守honor code的前提下,没有绝对的标答,那么即使你成功抄了上面的解答方式依然不是满分。原因在于,题目的要求是:Tip: Our proof takes 22 steps including the premises and the goal.上面的答案花了24步,达不到要求。就我个人能力所限,我现在知道两种方法:除了用析取引入的证明方法以外(这个方法用II的小技巧可以缩减到23步),至少还有一种采用完全相反的合取消除的办法(这个也是23步)。本来对于初学者来说,做出这些题来就已经不易,还要尝试各种方法以求得本问题的高分,实在是很难。

如果你对下面的学习方法都不懂的话,除非你是超人,否则,你连问题4.3都闯不过。

表达问题2

表达问题3

我不知道怎么通过网络手段而不是大量看书来解决|-R、|-F、|-和|=之间区分的问题,也许发邮件问问老师可以?

|-与|=的区别

|-与|=的区别就是,这俩虽然看着相似,但完全不同。|-是一种结构表达,而|=是语义表达。什么意思呢?我们看下面的问题。

什么是错误(Wrong)

我想你一定困惑过,为什么不同级别之间有时候可消除,有时候却又不可消除。最重要的是,推理难道完全是靠“灵感喷发”吗?难道没有方法吗?没有一个很简单的一以贯之的方法吗?不是,有的,Fitch系统是最简单的推理方法。

wrong

Subproof与Superproof

表达问题1

上图的|-符号曾经是我最困惑的东西,为什么II这里跟别人都不一样。

答案是|-表示前后两个命题需要不在同一层里面。我不知道斯坦福的讲义为什么要这样写,写成下面的样子明明更清晰易懂。

表达问题2

注意这里层级的问题:II不能用在两个假设命题当中,比如下面这样是错误的:

表达问题3

推理方法

Fitch系统强调层级性质的原因在于,除了II这种方法以外,其他的任何方法,比如NI、BI、AI、OI等都是同层级运算,结果并不能升级到上一层。这对于我们成功证明一个问题是非常有利的。这种规则是证明问题的路标,只要有了这种层级换算,再复杂的难题也是可以解决的,问题4.12就是想说明这个问题(虽然这也太虐心了)。比如说,我想证明((p=>q)=>p)=>p,那么首先我就假设(p=>q)=>p,然后用假设(Assumption)开启下一层,这一层需要最后用II得出p,这样再在最顶层(也就是假设(p=>q)=>p的这一层)使用II得到最终想证明的命题。这个用图说不了太清楚,你必须得通过“玩题”才能理解。

表达问题4

怎样学习斯坦福的课程

我认为学习斯坦福课程这么吃力的原因首先是智商问题。我们可以想象一下,这门课程只是斯坦福本科生的一门课,如果本周目你花了20小时左右才搞定了它,那么,人家一个本科生起码一个学期得有四门以上的课,也就是周花费时间超过100个小时在学习。对于一个本科生来说,他们不要生活了吗?这怎么可能。

符号问题

其次是语言问题。也许,斯坦福的Notes没有对符号含义解释的原因是“歪果仁”以前都知道?比如下面这段话:

符号问题

这段话翻译成中文的意思如下:

  • 可靠性:当且仅当所有可证明的结论都是逻辑上蕴含的,即if Δ|-φ, then Δ|=φ时我们说一个证明系统是可靠的。
  • 完备性:当且仅当所有逻辑结论都是可被证明的,即if Δ|=φ, then Δ|-φ时我们说一个证明系统是完备的。

用中文说的意思就是:可以证明的都是永言的,永言的都是可以证明的。

如果你不知道永言式是什么意思,那么再通俗一点说:可以证明的都是真的,真的都是可以证明的。

这不是废话吗?你错了,这一段,老师在讲这些符号是什么意思。你听懂了吗?

我没有

那怎么学习呢?出门右转马云家购买武汉大学出版社,徐明著《符号逻辑讲义》

翻到564页,最后的索引表,有全部符号的含义和使用方法介绍。所谓“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海”,“歪果仁”脑洞比较大,我们还是看看吧。

符号问题2

怎么完成Problem 4.1-4.12

斯坦福的学习理念很好,除了提升人的个人能力以外,最重要的是锻炼了人的个人品格——发把枪就让我们去打二战,还要打胜仗!

上面说了学这门课程吃力的两个原因,一个是智商问题,一个是语言问题,下面说第三个。

你没有助攻!

小的时候,我们学习定理,老师都会教定理的推演办法,更会教计算系统的“诀窍”。

比如老师会直接让我们背诵乘法口诀表,然而斯坦福的方法是让我们自己推导出乘法口诀表。从Problem 4.1-4.12,虽然每个题都很有学习推理语言和方法的价值,但它实际上是在推导几个重要的永言式定理,比如门德尔松定理2

玩我们呢!

怎么办?出门右转马云家购买武汉大学出版社,徐明著《符号逻辑讲义》

翻到136页3,用斯坦福的这套系统先把例题做一遍,你完成Problem 4.1-4.12就非常容易了。真的。

助攻

各位不要激动,我早就说了,斯坦福的这门课程主要是让我们学会学习方法,所以它其实是强烈要求我们用参考书结合它的工具学习的。

教程

上吧兄弟们!向我开炮。

工具

非常希望你们有问题能跟我一起讨论,呜呼。第四周目好可怕。


  1. MOOC果壳中文站:http://mooc.guokr.com/course/359/Introduction-to-Logic/  

  2. http://math.stackexchange.com/questions/1290750/why-mendelson-axiom-schemas-are-true  

  3. 徐明著《符号逻辑讲义》在线电子版地址:https://www.baidu.com/s?ie=utf-8&f=8&rsv_bp=0&rsv_idx=1&tn=baidu&wd=符号逻辑讲义pdf。如果你非要读英文版,推荐UMASS的Basic Concepts of Set Theory, Functions and Relations,地址:http://people.umass.edu/partee/NZ_2006/Set%20Theory%20Basics.pdf。  

2015-10-19 23:10 intrologic
Comments
Write a Comment